Álgebra lineal Ejemplos

$i^{8}$

Paso 1

Reescribe $i^{8}$ como ${(i^{4})}^{2}$ .

${(i^{4})}^{2}$

Paso 2

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

${({(i^{2})}^{2})}^{2}$

Paso 2.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

${({(- 1)}^{2})}^{2}$

Paso 2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1^{2}$

Paso 3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1$

Paso 4

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 5

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 6

Sustituye los valores reales de $a = 1$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + 1^{2}}$

Paso 7

Obtén $| z |$ .

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Paso 7.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + 1^{2}}$

Paso 7.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| z | = \sqrt{0 + 1}$

Paso 7.3

Suma $0$ y $1$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Paso 7.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$| z | = 1$

Paso 8

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{1})$

Paso 9

Como la tangente inversa de $\frac{0}{1}$ produce un ángulo en el primer cuadrante, el valor del ángulo es $0$ .

$θ = 0$

Paso 10

Sustituye los valores de $θ = 0$ y $| z | = 1$ .

$\cos (0) + i \sin (0)$